Kratownica z kształtowników giętych z połączeniami na wkręty samowiercące

*****
W artykule przedstawiono przykład obliczeniowy kratownicowej belki stropowej o rozpiętości 9 m, w której pasy i krzyżulce zaprojektowano z ceowników C150x42x10x1,5 giętych na zimno ze stali gatunku S235. Przyjęto, że pręty skratowania są łączone z pasami za pomocą blach węzłowych oraz wkrętów samowiercących o średnicy 5,5 mm. Pokazano różne sposoby modelowania połączeń oraz wpływ ich podatności na wartości sił wewnętrznych oraz ugięcie kratownicy. Zaprezentowano tok obliczeń przy sprawdzaniu stanu granicznego nośności pasa górnego, weryfikację stanu granicznego użytkowalności kratownicy oraz sprawdzenie nośności połączeń na wkręty samowiercące.

Cold-formed steel truss with self-drilling screw joints

The paper presents a design example of a latticed floor beam with a span of 9 m, in which the chords and diagonals were designed from cold-formed C150x42x10x1.5 channels made of S235 steel. It was assumed that the web members are connected to the chords with gusset plates and self-drilling screws with a diameter of 5.5 mm. Various methods of connections modeling and the effect of their rigidity on the values of internal forces and deflection of the truss are shown. The calculation procedures for checking the ultimate limit state of the upper chord, verification of the serviceability limit state of the truss and checking the load capacity of connections with self-drilling screws are presented.
*****

Przy projektowaniu tego rodzaju dźwigarów należy odpowiednio uwzględnić szczegółowe wymagania Eurokodu 3, część 1–3 [1], w tym nośność oraz sztywność połączeń, którą w przypadku wkrętów samowiercących należy ustalić eksperymentalnie [2]. Ogólne zasady kształtowania i obliczania tego rodzaju konstrukcji opisano w [3], zaś w niniejszym artykule wskazówki te zilustrowano na przykładzie kratowej belki stropowej o rozpiętości 9 m. Pokazano różne sposoby modelowania konstrukcji na potrzeby obliczeń statycznych, szczegóły konstrukcyjne połączeń, sposób wymiarowania pasa ściskanego oraz połączeń na wkręty, a także wpływ podatności połączeń na ugięcie belki kratowej.

Założenia projektowe

Przyjęto, że wszystkie pręty kratownicy o pasach równoległych zostaną wykonane z ceownika C150x42x10x1,5 mm (RYS. 1) giętego na zimno ze stali gatunku S235, której granica plastyczności materiału wyjściowego (przed gięciem) ƒ_yb = 235 MPa.

Ze względów konstrukcyjnych zarys geometryczny kratownicy ustalono wstępnie w oparciu o linię środkową pasa ceownika (por. RYS. 1), przyjmując rozpiętość równą 9 m i wysokość 0,6 m. Wymiary pokazane na RYS. 2 i uwzględnione następnie w obliczeniach statycznych odnoszą się do osi przekroju brutto.

Względy konstrukcyjne są również powodem wprowadzenia w węzłach niewielkich mimośrodów, które w rozumieniu normy [4] wynoszą: w pasie górnym e_g = +7 mm, w pasie dolnym e_d = -28 mm (por. RYS 2). Rozwiązanie takie pozwala na ujednolicenie wymiarów blach węzłowych oraz ułatwia trasowanie osi łączników, które instaluje się na linii środkowej pasa ceownika.

Blachy węzłowe zaprojektowano z materiału tego samego gatunku i tej samej grubości co pręty kratownicy, z którymi mają być one łączone przy użyciu wkrętów samowiercących typu GT5 o średnicy nominalnej 5,5 mm. Nośność obliczeniową R_d = 4,52 kN ścinanego połączenia na jeden wkręt oraz jego sztywność translacyjną (na przesuw) S_δ,1 = 4620 kN/m ustalono wg [5] na podstawie badań doświadczalnych, które szczegółowo opisano w [2].

Założono, że dźwigary kratowe stanowiące główny element nośny stropu pomieszczenia socjalnego zostaną ułożone w rozstawie co 0,6 m. Przyjęto, że konstrukcja jest obciążona ciężarem własnym o wartości g_k = 0,4 kN/m² oraz obciążeniem użytkowym q_k = 2,0 kN/m², które są przyłożone bezpośrednio do pasa górnego (por. RYS. 2). W zestawieniu obciążeń wg [6] uwzględniono kombinacje w Stanie Granicznym Nośności (1,15g_k + 1,5q_k) oraz w Stanie Granicznym Użytkowalności (g_k + q_k). Przyjęto, że pas górny jest konstrukcyjnie zabezpieczony przed wyboczeniem z płaszczyzny kratownicy.

Modele kratownicy

Na potrzeby analizy wykonano trzy modele kratownicy. Na RYS. 3–5 pokazano szczegóły konstrukcyjne węzłów. Dla uproszczenia obliczeń przyjęto, że wszystkie węzły pośrednie będą miały taką samą liczbę wkrętów.

W modelu A założono, że pręty w węzłach są połączone w sposób przegubowo-nieprzesuwny. W modelu B w połączeniach krzyżulec–blacha węzłowa uwzględniono sprężystą sztywność translacyjną na kierunku działania sił osiowych N_Ed wg wzoru [3, 7]:

gdzie m oznacza liczbę wkrętów w połączeniu.

W modelach A i B pominięto lokalne mimośrody związane z położeniem wkrętów względem osi przekroju brutto ceowników i nie uwzględniono sztywności połączeń pas–blacha węzłowa. Efekty te uwzględniono w modelu C, w którym lokalne mimośrody połączeń krzyżulec–blacha i pas–blacha węzłowa wprowadzono za pomocą dodatkowych elementów sztywnych (por. RYS. 3–5). W modelu tym uwzględniono ponadto sztywność połączeń na obrót, którą obliczono według zależności [3, 7]:

gdzie r_i oznacza odległość i-tego wkrętu od środka ciężkości rozpatrywanej grupy łączników.

Przykładowo dla połączenia pas–blacha węzłowa pokazanego na RYS. 4 sztywność na przesuw wynosi 27 900 kN/m, a sztywność obrotowa 46,5 kNm/rad, zaś w połączeniach krzyżulec–blacha odpowiednio 18 600 kN/m i 4,2 kNm/rad. Sztywności te uwzględniono w programie Robot Structural Analysis za pomocą zwolnień sprężystych założonych w punktach oznaczonych na RYS. 3–5 jako G1, G2 i G3, które odpowiadają położeniu środków ciężkości poszczególnych grup wkrętów.

Wyniki obliczeń statycznych

Wyniki obliczeń statycznych uzyskane dla modeli A, B i C pokazano dla wybranych prętów kratownicy. Na RYS. 6–7 zilustrowano schematycznie wykresy sił wewnętrznych, których wartości dla kombinacji w SGN zestawiono w TABELACH 1–2.

Różnice wartości siły osiowej N_Ed oraz ścinającej V_Ed w pasach dla poszczególnych modeli nie są znaczące. Istotne są natomiast zmiany wartości momentu zginającego M_z,Ed. W pasie górnym jest on największy według modelu C zarówno w przekroju przywęzłowym, jak i przęsłowym. Biorąc pod uwagę, że zginanie następuje względem słabszej osi przekroju, moment zginający w pasie może mieć istotny wpływ na wytężenie tego elementu. Moment w pasie dolnym (pręt p11, przekrój 4–4) dla modelu A wynosi -0,36 kNm, co odpowiada iloczynowi N_Ed,p11·e_d (por. RYS. 4). Jest to wartość dwukrotnie większa od momentu M_z,Ed = -0,18 kNm odczytanego w modelu C, w którym szczegółowo uwzględniono geometrię i sztywność obrotową połączeń.

Różnice wartości siły osiowej N_Ed w krzyżulcu ściskanym k21 (por. RYS. 2) dla poszczególnych modeli są niewielkie i wahają się w zakresie od 10,17 kN dla modelu B, przez 10,19 kN dla modelu C do 10,24 kN dla modelu A. Moment zginający M_z,Ed = -0,11 kNm w krzyżulcu k21 można odczytać wprost jedynie z modelu C. Ze względu na stosunkowo niewielką sztywność obrotową połączeń krzyżulec–blacha węzłowa moment zginający w krzyżulcu można wyznaczyć w przybliżeniu jako N_Ed,k21·e_k. (por. RYS. 5).

Sprawdzenie nośności pasa górnego

Weryfikację nośności elementu zaprojektowanego z kształtownika giętego należy rozpocząć od ustalenia efektywnych cech jego przekroju z uwzględnieniem utraty stateczności lokalnej oraz dystorsji [1]. Procedury te przedstawiono szczegółowo w materiałach Access Steel [8, 9] dostępnych na stronie Polskiej Izby Konstrukcji Stalowych. Przekrój efektywny należy wyznaczyć oddzielnie dla ściskania osiowego i zginania. Zginanie następuje względem słabszej, niesymetrycznej osi przekroju, a moment zginający zmienia znak na długości pasa (por. RYS. 6), dlatego przekrój efektywny należy wyznaczyć dla przypadku, gdy naprężenia ściskające od zginania powstają w fałdach krawędziowych oraz gdy ściskany jest środnik ceownika. Przekroje efektywne pokazano na RYS. 8–10.

W przekroju 1–1 należy przede wszystkim zweryfikować warunek nośności przekroju (6.25) wg [1] przy ściskaniu ze zginaniem. Uwzględniając siły wewnętrzne uzyskane dla modelu C, warunek ten zapisano następująco:

gdzie:

Nośność na zginanie przekroju efektywnego M_cz,Rd,com obliczono dla wskaźnika odpowiadającego krawędzi ściskanej (punkt 2 na RYS. 9), zaś dodatkowy moment zginający ΔM_z,Ed wynika z przesunięcia środka ciężkości przekroju efektywnego (por. RYS. 8).

W przekroju 1–1 nie ma konieczności sprawdzania warunku interakcyjnego przy zginaniu ze ścinaniem i siłą podłużną wg wzoru (6.27), ponieważ V_Ed = 0,95 kN < 0,5V_w,Rd = 16,6 kN, gdzie V_w,Rd wg wzoru (6.8) w [1].

Dla sił wyznaczonych w przekroju 2–2 należy sprawdzić warunek stateczności pasa. Ze względu na to, że przekrój jest monosymetryczny oraz narażony na dystorsję, nie mają zastosowania wzory interakcyjne wg p.6.3.3 normy [10].

W tym przypadku należy wybrać jedną z dwóch możliwości:

• pierwszą jest przeprowadzenie dokładnej analizy drugiego rzędu z uwzględnieniem imperfekcji oraz efektywnych cech przekroju.
• drugą możliwością jest zastosowanie uproszczonej formuły interakcyjnej wg wzoru (6.36) w [1]

gdzie:

Współczynnik wyboczenia χ_z w płaszczyźnie kratownicy ustalono dla krzywej wyboczenia b przy założeniu, że długość krytyczna jest równa odległości między węzłami pasa górnego.

Smukłość względną wyznaczono jak dla elementów klasy 4 wg [10], przy czym siła krytyczna N_cr,z = 198 kN przy wyboczeniu giętnym okazała się tylko nieznacznie mniejsza od siły N_cr,TF = 206 kN przy wyboczeniu giętno-skrętnym.

Nośność na zginanie obliczono, przyjmując wskaźnik zginania W_eff,z,1, który w przekroju 2–2 odpowiada krawędzi ściskanej (punkt 1 na RYS 10).

Weryfikacja ugięcia

Badając ugięcie kratownicy, można zauważyć istotne różnice między poszczególnymi modelami. Przemieszczenie pionowe węzła w16 (por. RYS. 2) dla kombinacji SGU w modelu A wynosi 9 mm, w modelu B 14 mm, zaś w modelu C, który w najpełniejszym stopniu uwzględnia deformacje połączeń, ugięcie jest równe 17 mm.

Zgodnie z normą [1] p.7.1(2) weryfikację SGU konstrukcji wykonanej z kształtowników giętych należy wykonać, przyjmując efektywne cechy przekroju. Z tego powodu wykonano dodatkowy model C2, w którym we wszystkich prętach ściskanych przyjęto przekroje efektywne jak na RYS. 8.

W tym wypadku ugięcie kratownicy okazało się równe 19 mm, co stanowi 1/473 jej rozpiętości. Należy zwrócić uwagę, że efektywne cechy przekroju wg [1] ustala się przy założeniu, że naprężenia ściskające osiągają granicę plastyczności, co odpowiada sytuacji w SGN. Ugięcie wyznaczone w modelu C2 jest więc określone bezpiecznie od góry, tj. z pewnym naddatkiem.

Sprawdzenie nośności węzła w pasie dolnym

Sprawdzenie nośności połączenia na wkręty wykonano dla węzła w12 w pasie dolnym (patrz RYS. 2 i 5), przyjmując obciążenia wyznaczone w modelu C dla kombinacji SGN.

W połączeniu blachy węzłowej z pasem dolnym, w środku ciężkości grupy wkrętów G1 działają siły F_x = 0,35 kN, F_z = N_Ed,p11 = 12,64 kN oraz M_y = 0,04 kNm.

Wypadkową siłę F_w ścinającą najbardziej wytężony wkręt w połączeniu obliczono wg sposobu zaproponowanego w p. 6.2.4.2 normy [11]:

gdzie r_i i m – jak we wzorach (1) i (2), R_d – nośność wkręta [2].

Warto zauważyć, że siła wypadkowa F_w = 2,12 kN wyznaczona z uwzględnieniem drugorzędnych sił w węźle niewiele różni się od wartości F_z/m = 2,11 kN, która wynika z działania tylko siły osiowej N_Ed,p11 w pasie dolnym (por. TABELA 2).

W analogiczny sposób można zweryfikować wytężenie wkrętów w grupie G2 i G3. Również w tym wypadku decydującym obciążeniem jest siła osiowa w łączonym pręcie.

Podsumowanie

Efekty związane z lokalnymi mimośrodami w węzłach oraz sztywnością połączeń na wkręty okazały się istotne przede wszystkim przy określaniu wytężenia pasów oraz ugięcia kratownicy.

Ważnym czynnikiem wpływającym na wartość ugięcia jest też zmniejszenie się sztywności prętów ściskanych na skutek niestateczności lokalnej oraz dystorsji kształtowników giętych. Należy przy tym podkreślić, że przy uwzględnieniu powyższych efektów ugięcie kratownicy okazało się stosunkowo niewielkie i wyniosło zaledwie 1/473 jej rozpiętości.

Masa kratownicy, włączając blachy węzłowe, wynosi 98 kg, co w przeliczeniu na jednostkę powierzchni stropu stanowi jedynie 18 kg/m².

Najbardziej czasochłonną czynnością przy wytwarzaniu kratownicy będzie z pewnością osadzenie blisko 300 szt. wkrętów, których potrzeba do scalenia jej elementów. Pracę tę można znacząco przyspieszyć, stosując w blachach węzłowych tzw. otwory pilotujące oraz optymalizując liczbę wkrętów.

Wykonanie i montaż kratownicy nie wymagają wysoko wykwalifikowanego personelu ani specjalistycznego sprzętu, co sprawia, że tego rodzaju konstrukcja może być ciekawą alternatywą dla elementów wykonanych metodami tradycyjnymi.

Literatura

1. PN-EN 1993-1-3:2008, „Eurokod 3. Projektowanie konstrukcji stalowych. Część 1–3, Reguły uzupełniające dla konstrukcji z kształtowników i blach profilowanych na zimno”.
2. S. Swierczyna, „Badanie nośności i sztywności ścinanych połączeń na wkręty samowiercące”, „IZOLACJE” 4/2023.
3. S. Swierczyna, „Wprowadzenie do projektowania lekkich kratownic stalowych z kształtowników giętych”, „IZOLACJE” 3/2021.
4. PN-EN 1993-1-8:2006, „Eurokod 3. Projektowanie konstrukcji stalowych. Część 1–8: Projektowanie węzłów”.
5. ECCS TC7 TWG 7.10, „Connections in Cold-formed Steel Structures. The testing of connections with mechanical fasteners in steel sheeting and sections”, ECCS No 124, 2nd edition, 2009.
6. PN-EN 1990:2004, „Eurokod. Podstawy projektowania konstrukcji”.
7. J. Zamorowski, W. Wuwer, S. Swierczyna, „Lap joints stiffness according to Eurocode EC3 and experimental investigations results”, Archives of Civil and Mechanical Engineering 12(1):95–104, 2012.
8. V. Ungureanu, A. Ruff, „Przykład: Obliczanie efektywnych charakterystyk przekroju ceownika giętego na zimno z usztywnieniami poddanego ściskaniu”, Acces Steel SX023a-PL-EU (www.piks.com.pl).
9. V. Ungureanu, A. Ruff, „Przykład: Obliczanie efektywnych charakterystyk przekroju ceownika czterogiętego poddanego zginaniu”, Acces Steel SX022a-PL-EU (www.piks.com.pl).
10. PN-EN 1993-1-1:2006, „Eurokod 3. Projektowanie konstrukcji stalowych. Część 1-1, Reguły ogólne i reguły dla budynków”.
11. PN-B-03200:1990, „Konstrukcje stalowe. Obliczenia statyczne i projektowanie”.