Parametry optymalne dwupoziomowego tłumika drgań

Tłumiki mogą być sklasyfikowane jako: pasywne, półaktywne, aktywne i hybrydowe.

Pasywne tłumiki drgań

Do popularnych urządzeń pasywnej dyssypacji energii zalicza się tłumiki lepkie, lepko-sprężyste, tarciowe i metalowe. Były one szczególnie intensywnie udoskonalane w latach 90. w rozwiązaniach z zakresu ochrony przeciwsejsmicznej. Innego rodzaju urządzenia – strojone masowe i cieczowe tłumiki drgań – stosowane są w kontroli drgań konstrukcji w wypadku wiatru i innych przyczyn, np. typu przemysłowego.

Przeglądu tłumików typu pasywnego dokonali m.in.: I. Gołębiowska i J. Rojek [1], I. Gołębiowska i W. Sakiewicz [2] oraz M.D. Symans, F.A. Charney, A.S. Whittaker i in. [3].

Odpowiednio zlokalizowane w wibroizolacji lub/i wewnątrz konstrukcji pasywne układy kontroli drgań mogą być używane do zwiększenia dyssypacji energii. W zależności od budowy układy te mogą zwiększać sztywność i wytrzymałość konstrukcji. Nie wymagają one zewnętrznego źródła energii i wykorzystują ruch konstrukcji do wytwarzania sił kontrolujących. Siły te są funkcją odpowiedzi konstrukcji [2, 4].

WMTD umożliwia podwyższenie odporności budowli już istniejących, wcześniej zabezpieczonych przed nadmiernymi drganiami, na działanie obciążeń sejsmicznych czy parasejsmicznych, bez naruszenia ich konstrukcji. Urządzenie to może być wykorzystywane łącznie z innymi sposobami ochrony konstrukcji przed drganiami.

Konstrukcje wyposaża się w WMTD m.in. wówczas, gdy istnieje konieczność zmniejszenia reakcji na obiekt lub w wypadku problemów wynikających z gabarytów i ciężaru pojedynczego MTD. Rolę wielomasowych dynamicznych tłumików drgań mogą również spełniać elementy belkowe czy płytowe.

Efektywność WMTD z równolegle ustawionymi MTD, dołączonego do układu tłumionego o jednym stopniu swobody obciążonego siłą harmoniczną, badali H. Yamaguchi i N. Harnpornchai [7]. Porównali oni ją z efektywnością MTD i wykazali, że optymalny WMTD jest efektywniejszy niż MTD.

Identyczny układ wyłącznie przy wymuszeniu kinematycznym w postaci białego szumu badali również A.S. Joshi i R.S. Jangid [8]. Otrzymali oni parametry optymalne WMTD przy założeniu minimalnej wartości maksimum charakterystyki amplitudowo-częstotliwościowej i przy założonym rozkładzie częstości własnych poszczególnych MTD.

Do parametrów optymalnych należały: współczynnik tłumienia, współczynnik strojenia oraz zakres współczynników strojenia. Parametry te określono w odniesieniu do różnych współczynników tłumienia konstrukcji i różnych współczynników masy (stosunek masy tłumika drgań do masy konstrukcji).

Jangid [9] badał także układ nietłumiony będący pod wpływem harmonicznego wymuszenia kinematycznego przy takich samych założeniach. Obaj autorzy wykazali w analizowanych przykładach [8, 9], że optymalny współczynnik tłumienia wzrasta wraz ze wzrostem współczynnika masy.

L. Zuo i S.A. Nayfeh [10] zaproponowali algorytm numeryczny do optymalizacji indywidualnej sztywności i tłumienia każdego z ustawionych równolegle MTD dla układu o jednym stopniu swobody przy wymuszeniu siłowym i kinematycznym.

A.W. Dukart i A.I. Olejnik [11] analizowali zaś różne modele WMTD otrzymane z połączenia szeregowo i równolegle ustawionych MTD. Znaleźli oni parametry optymalne analizowanych modeli przy założonym rozkładzie częstości kolejnych MTD i przy harmonicznym obciążeniu siłowym układu o jednym stopniu swobody.

Złożoność konstrukcji WMTD i konieczność jego optymalizacji wymaga jednak jeszcze wielu eksperymentów i badań teoretycznych. Mimo że napisano już wiele prac dotyczących analizy efektywności sposobów obniżania poziomu drgań konstrukcji, do tej pory nie zbadano wielopoziomowego WMTD uwzględniającego wpływ rozkładu masy na poszczególnych poziomach przy optymalnych, dobranych indywidualnie współczynnikach strojenia dla każdego MTD i tłumieniu optymalnym.

Problem ten zostanie przedstawiony w niniejszym artykule. Zbadano mianowicie wpływ obciążenia parasejsmicznego, modelowanego wymuszeniem harmonicznym, na odpowiedź układu tłumionego o jednym stopniu swobody w celu znalezienia parametrów optymalnych dwupoziomowego WMTD (strojenia optymalnego każdego tłumika, tłumienia optymalnego oraz optymalnego współczynnika rozkładu masy na obu poziomach) zastosowanego do obniżenia poziomu drgań analizowanego układu.

Analiza efektywności – założenia

Przeanalizowano układ tłumiony o jednym stopniu swobody poddany wymuszeniu kinematycznemu:

Aby obniżyć poziom drgań analizowanego układu, zamontowano na nim dwupoziomowy WMTD typu pasywnego (rys. 1).

WMTD składał się z (m + n) MTD ustawionych równolegle, rozmieszczonych na dwóch poziomach z różnymi charakterystykami dynamicznymi k₁,i, c₁,i (i = 1,2,...,m), k_2,j, c_2,j, (j = 1,2,...,n) i połączonych ze sobą sztywną platformą. Platforma, na której zamontowano MTD, miała możliwość wykonywania tylko przemieszczeń pionowych. Każdy MTD był modelowany jako układ o jednym stopniu swobody. Otrzymano układ o (m + n + 2) stopniach swobody.

Celem analizy było zbadanie wpływu liczby tłumików n na górnej platformie na wartości parametrów optymalnych układu: współczynnika strojenia i-tego tłumika drgań na pierwszym poziomie (f_1,i^opt), współczynnika strojenia j-tego tłumika drgań na drugim poziomie (f_2,jopt), współczynnika tłumienia (ξ^opt), współczynnika rozkładu masy (α^opt).

Do analizy przyjęto następujące założenia:

• wszystkie współczynniki tłumienia WMTD są takie same,
• masy są jednakowe na danym poziomie,
• elementem tłumiącym układu podstawowego oraz każdego zastosowanego MTD jest liniowy tłumik wiskotyczny.

Przyjętym kryterium optymalizacji było minimum maksymalnej bezwymiarowej amplitudy przemieszczenia masy układu głównego:

R = min < max.|A| >,

gdzie:

przy założeniu, że maksima krzywej amplitudowo-częstościowej osiągają jednakową wartość.

Rozwiązanie numeryczne

Na podstawie autorskiego programu numerycznego znaleziono parametry optymalne dwupoziomowego WMTD przy następujących danych: wartość współczynnika tłumienia układu głównego ξ = 0,10, wartość współczynnika masy μ = 0,05. Na rys. 2 pokazano zależność optymalnych współczynników tłumienia ξo^pt od liczby n MTD na drugim poziomie przy stałej liczbie MTD na pierwszym poziomie m = 1, m = 3 i m = 5.

Wyniki analizy wskazują na znaczne obniżenie optymalnych współczynników tłumienia w przypadku dołożenia do układu drugiego piętra niezależnie od liczby DTD na drugim poziomie. Po porównaniu optymalnych współczynników tłumienia dla dwumasowego, szeregowego MTD i analizowanych jedno- i dwupoziomowych WDTD stwiedzono znaczne obniżenie wartości optymalnych poszukiwanych współczynników tłumienia tych ostatnich układów.

Na rys. 3 przedstawiono wpływ liczby n MTD na drugim poziomie na optymalne współczynniki strojenia przy m = 5. Na podstawie analizy wyników obliczeń można stwierdzić, że wraz ze wzrostem liczby n MTD zakres optymalnych współczynników strojenia niewiele się zmienia, a w strefie niższych wartości występuje ich zagęszczenie. Ze wzrostem liczby n MTD na drugim poziomie zakres optymalnych współczynników strojenia f_2,i – f_2,j przy j = 3,5 wzrasta przy prawie stałych optymalnych współczynnikach strojenia f₁,i na pierwszym poziomie.

Na rys. 4 przedstawiono zależność optymalnego współczynnika rozkładu masy α^opt od liczby n MTD na drugim poziomie. Wartość optymalnego współczynnika rozkładu masy obniża się z wartości α^opt = 0,025 (m = 1, n = 1) do wartości α^opt = 0,0125 (m = 3, n = 2,3; m = 5, n = 5).

Zależność amplitudowo-częstościowa dla m = 5 przy różnej liczbie n MTD na drugim poziomie pokazano na rys. 5. Dodanie drugiego poziomu tłumików powoduje znaczne obniżenie amplitudy przemieszczeń układu głównego. Wraz ze wzrostem liczby tłumików (n) na drugim poziomie amplitudy przemieszczeń ulegają już niewielkiemu zmniejszeniu.

WNIOSKI

W pracy analizowano efektywność dwupoziomowego WMTD zastosowanego do obniżenia poziomu drgań tłumionego układu o jednym stopniu swobody poddanego wymuszeniu kinematycznemu. Znaleziono parametry optymalne WMTD oraz zbadano wpływ liczby tłumików n na te parametry. Na podstawie analizy numerycznej stwierdzono, że przy danej liczbie tłumików m wzrost przyjętej liczby tłumików n na drugim poziomie powoduje:

• nieznaczne zmniejszenie wartości tłumienia optymalnego,
• zagęszczenie optymalnych współczynników strojenia w strefie niższych ich wartości,
• zwiększenie wartości optymalnego współczynnika rozkładu masy,
• nieznaczne zmniejszenie wartości amplitud przemieszczeń.

Stwierdzono wysoką efektywność dwupoziomowego WMTD użytego do obniżenia poziomu drgań tłumionego układu o jednym stopniu swobody. Tego typu tłumiki mogą więc znaleźć powszechne zastosowanie w ochronie konstrukcji poddanych różnego rodzaju wpływom dynamicznym, np. drganiom maszyn, trzęsieniom ziemi, działaniu wiatru itp. Mogą być instalowane na kominach, masztach, wieżach, mogą tłumić drgania w mostach, kładkach dla pieszych i w budynkach.

LITERATURA

1. I. Gołębiowska, J. Rojek, „Urządzenia pasywnej kontroli drgań w obiektach budowlanych”, „Ekologia i Technika”, vol. XVIII, nr 5/2010, s. 290–298.
2. I. Gołębiowska, W. Sakiewicz, „Kontrola drgań konstrukcji”, „Inżynieria i Aparatura Techniczna”, nr 4/2008, s. 30–31.
3. M.D. Symans, F.A. Charney, A.S. Whittaker et al., „Energy dissipation systems for seismic applications: Current practice and recent developments”, „Journal of Structural Engineering”, January 2008, pp. 3–21.
4. M.D. Symans, M.C. Constantinou, „Semi-active control systems for seismic protection of structures: a state-of-the­‑art review”, „Engineering Structures”, vol. 21/1999, pp. 469–487.
5. J.P. Den Hartog, „Drgania mechaniczne”, PWN, Warszawa 1971.
6. G.B. Warburton, „Optimum absorber parameters for various combinations of response and excitation parameters”, „Earthquake Engineering and Structural Dynamics”, vol. 10/1982, pp. 381–401. 
7. H. Yamaguchi, N. Harnpornchai, „Fundamental characteristics of multiple tuned mass dampers for suppressing harmonically forced oscillation”, „Earthquake Engineering and Structural Dynamics”, vol. 22/1993, pp. 51–62.
8. A.S. Joshi, R.S. Jangid, „Optimum parameters of multiple tuned mass dampers for base-excited damped systems”, „Journal of Sound and Vibration”, vol. 202/1997, pp. 657–667.
9. R.S. Jangid, „Optimum multiple tuned mass dampers for based-excited undamped systems”, „Earthquake Engineering and Structural Dynamics”, vol. 28/1999, pp. 1041–1049.
10. L. Zuo, S.A. Nayfeh, „Optimization of the individual stiffness and damping parameters in multiple-tuned-mass-damper systems, „Journal of Vibration and Acoustics”, vol. 127/2005, pp. 77–83.
11. A.W. Dukart, A.I. Olejnik, „Optimizacja paramietrow i efektywnost pakietnych gasicielej kolebanij z mnogomasowymi tipowymi elemientami”, „Izwiestia Wuzow. Stroicielstwo”, 3/2002, s. 26–32.

Chcesz być na bieżąco? Zapisz się do naszego newslettera!