Analiza temperatury wewnętrznej połączenia podłogi na gruncie ze ścianą zewnętrzną przy użyciu metody modelowania matematycznego

W artykule:

• Opis obiektu badania
• Tok postępowania
• Modelowanie matematyczne zależności temperatury w miejscu mostka termicznego
• Wyniki badania i ich interpretacja
• Wnioski

***
W artykule zaprezentowano wyniki oryginalnego badania dotyczącego wpływu wybranych parametrów geometrycznych i materiałowych. Przeanalizowana pod kątem temperaturowym została strefa przyziemia budynku obejmującego połączenie ściany zewnętrznej z fundamentem i podłogą na gruncie. Analizie poddano zależność temperatury występującej w miejscu krytycznym węzła wewnątrz przegrody zewnętrznej. Przeanalizowano następujące zmienne: X₁ – współczynnik przewodzenia ciepła warstwy izolacyjnej ułożonej na płycie fundamentowej [W/(m·K)], X₂ – grubość warstwy styropianu w strefie cokołowej [m], X₃ – grubość izolacji cieplnej pod płytą fundamentową [m], X₄ – grubość termoizolacji zastosowanej w ścianie zewnętrznej [m], X₅ – grubość izolacji wewnętrznej części cokołowej fundamentu [m]. Obliczenia wykonano dla warunków klimatycznych charakterystycznych dla miasta Białystok, przy użyciu oprogramowania THERM. Na podstawie wyników symulacji opracowano deterministyczne modele matematyczne, które umożliwiły ocenę charakteru i siły oddziaływania poszczególnych czynników na temperaturę w miejscu występowania mostka termicznego. Jak wykazały obliczenia, największy jednostkowy wpływ spośród analizowanych czynników wykazuje zmienna X₅, odpowiadająca za grubość izolacji wewnętrznej części cokołowej fundamentu [m]. Wartość współczynnika przy tej zmiennej wynosi 2,5673, co oznacza, że przejście z poziomu -1 na +1 skutkuje wzrostem średniej temperatury o ok. 5,13°C. Uzyskane wyniki mogą stanowić cenne źródło informacji dla naukowców, projektantów, inżynierów oraz decydentów, wspierając podejmowanie trafnych decyzji na etapie projektowania budynków z ogrzewaną przestrzenią użytkową.

The article presents the results of an original study on the impact of selected geometric and material parameters. The thermal performance of the ground-level zone of a building was analysed, focusing on the connection between the external wall, foundation, and ground floor. The study examined the temperature at the critical point within the external partition. The following variables were analysed: X₁ – thermal conductivity of the insulation layer placed on the foundation slab [W/(m·K)], X₂ – thickness of the polystyrene layer in the plinth area [m], X₃ – thickness of thermal insulation under the foundation slab [m], X₄ – thickness of thermal insulation used in the external wall [m], X₅ – thickness of internal insulation of the foundation wall [m]. Calculations were performed for the climatic conditions characteristic of the city of Białystok using the THERM software. Based on the simulation results, deterministic mathematical models were developed, enabling the assessment of the nature and strength of the influence of individual factors on the temperature at the thermal bridge location. The calculations showed that the variable X₅, corresponding to the thickness of the internal insulation of the foundation wall [m], had the greatest individual impact among the analysed factors. The coefficient for this variable was 2,5673, meaning that a change from level -1 to +1 results in an increase in average temperature of approximately 5,13°C. The results obtained can serve as a valuable source of information for researchers, designers, engineers, and decision-makers, supporting effective decision-making at the building design stage for structures with heated usable spaces.
***

Podczas projektowania obiektu mieszkalnego analizie poddaje się znaczną liczbę czynników związanych z otoczeniem, w którym się znajduje, gdyż rzutuje to na ostateczny komfort użytkowania. Aby uniknąć występowania problemu, którym jest utrata ciepła z budynku, należy odpowiednio zaprojektować oraz wykonać newralgiczne punkty konstrukcji, przez które może się to odbywać. Punkty te określa się jako mostki termiczne i stanowią one niepożądane zjawisko mogące występować w obiekcie budowlanym, a przy zmieniającym się obecnie klimacie i rosnących cenach jest to coś, czego właściciele obiektów za wszelką cenę chcieliby uniknąć.

Czytaj także: Ocieplenie podłóg na gruncie i stropów nad nieogrzewanymi piwnicami

Mostek termiczny jest to miejsce w budynku, którego opór cieplny jest znacznie mniejszy niż okoliczny, co powoduje nadmierną wymianę ciepła (jego utratę) do otoczenia. Mostki termiczne mogą powstawać w wielu miejscach, a najczęściej powstają w miejscu występowania:

• połączenia przegród zewnętrznych i wewnętrznych budynku,
• zmiany grubości materiałów,
• połączenia przegród zewnętrznych z balkonami,
• połączenia ścian fundamentowych z podłogą na gruncie,
• połączenia ścian zewnętrznych z dachem,
• naroży budynku,
• stolarki okiennej i drzwiowej.

Mostek termiczny może pojawić się zarówno na etapie projektowania – podstawą może być błędnie wykonany projekt, który przewiduje niedostateczną ilość materiałów izolacyjnych przeznaczonych na dany element obiektu, jak i na etapie realizacji przedsięwzięcia, jakim jest budynek – błędne wykonanie izolacji lub użycie materiałów izolacyjnych, które cechują się niską jakością [1].

Oprócz zwiększenia kosztów użytkowania obiektu mostek termiczny może powodować szereg innych niekorzystnych efektów zarówno dla użytkownika: jak i samej konstrukcji – skutkiem występowania wilgotności na powierzchni przegrody jest rozwój pleśni, która ma wysoce niekorzystny wpływ na organizm człowieka. Co więcej, zawilgocenie przegrody budowlanej może powodować korozję oraz osłabienie nośności, co z kolei prowadzi do utraty stateczności obiektów i wiąże się z wysokimi nakładami ekonomicznymi w celu dokonania niezbędnych napraw. Dlatego kluczowe jest, aby miejsca styków elementów konstrukcyjnych zostały zaprojektowane i wykonane w sposób dokładny.

Istotnym zagadnieniem w kwestii budynków mieszkalnych jest zachowanie ciągłości izolacji. To jeden z kluczowych warunków, które pozwalają na osiągnięcie wysokiej efektywności energetycznej budynku. Ciągłość izolacji oznacza, że występuje nieprzerwane otoczenie całej części ogrzewanej budynku za pomocą przegród zewnętrznych z izolacją termiczną przez materiały o różnym współczynniku przewodzenia ciepła, zmiany długości lub grubości struktury [2].

Brak ciągłości izolacji cieplnej skutkuje niechcianą utratą ciepła oraz lokalnymi spadkami temperatury na powierzchniach wewnętrznych. Nawet 20–30% strat ciepła może odbywać się za pośrednictwem mostków termicznych. Nieciągłość powoduje lokalne zwiększenie strumienia cieplnego w odniesieniu do pozostałej powierzchni przegrody zewnętrznej [3, 4].

Aby zapewnić ciągłość izolacji, należy:

• projektować ciągłą linię izolacji przechodzącą przez wszystkie elementy budynku,
• eliminować punktowe przebicia izolacji, które mogą pojawić się na skutek występowania kotew, instalacji i elementów konstrukcyjnych,
• dbać o zachowywanie zakładów i ciągłości przy przejściach materiałowych,
• wykonywać analizy za pomocą programów komputerowych (np. THERM, ArCADia-TERMOCAD), które pomagają w wytypowaniu miejsc, w których może pojawić się brak ciągłości.

Utrzymanie integralności izolacji znacząco zmniejsza ryzyko wystąpienia zjawiska kondensacji pary wodnej w przegrodzie, które może skutkować rozwojem grzybów i pleśni.

W projektowaniu oraz realizacji połączenia ściany zewnętrznej z podłogą na gruncie jedną z kluczowych i zalecanych praktyk jest uwzględnienie cokołu. Ten element pełni istotną rolę zarówno pod względem technicznym, jak i estetycznym. Przede wszystkim stanowi on skuteczną ochronę dolnego odcinka ściany przed uszkodzeniami mechanicznymi. Równie istotna jest jego funkcja w kontekście ochrony przeciwwilgociowej. Cokół zabezpiecza przegrodę zewnętrzną przed przedostawaniem się do niej wilgoci z gruntu lub wody opadowej, co mogłoby prowadzić do szeregu niepożądanych skutków.

Oprócz funkcji ochronnych, cokół może pełnić również rolę dekoracyjną. Poprzez odpowiednie zaprojektowanie i dobranie materiałów wykończeniowych może on estetycznie podkreślić dolną linię budynku, nadając elewacji lekkości lub monumentalnego charakteru w zależności od zamierzonego efektu.

Cokoły dzielą się na:

• cofnięte – takie rozwiązanie powoduje, że woda opadowa spływająca po ścianach nie powoduje powstawania wilgoci w ścianie i cokole, gdyż powstała kropla wody odrywa się i spada na ziemię,
• licujące – jego zaletą jest minimalizacja ryzyka wystąpienia zjawiska mostka termicznego na skutek ograniczonego ryzyka wystąpienia przerwy w izolacji oraz minimalizacja ryzyka zawilgocenia ze względu na to, iż deszczówka spływa swobodnie po elewacji i nie zatrzymuje się na wystających krawędziach,
• wysunięte – rozwiązanie pozwalające na zabezpieczenie dolnej części ściany poprzez zastosowanie materiałów o wyższej odporności na czynniki niszczące, takich jak: okładziny ceramiczne, kamień,
• wentylowane – zabezpiecza ścianę przed niekorzystnym efektem występowania wilgoci dzięki możliwości odprowadzenia wilgoci poprzez wentylację szczeliny, co działa na korzyść zapobiegania gromadzenia się wilgoci w dolnej części ściany obiektu [5].

Opis obiektu badania

Badanie zostało przeprowadzone dla istniejącego budynku mieszkalnego, zlokalizowanego w Białymstoku. Zbadany został węzeł połączenia ściany zewnętrznej z podłogą na gruncie w 27 wariantach. Ściana zewnętrzna składa się ze świerku estońskiego, styropianu EPS 80 oraz tynku cementowo-wapiennego, natomiast podłoga na gruncie składa się ze szlichty betonowej, styropianu EPS 100 i płyty żelbetowej.

Przedmiotem analiz jest ściana drewniana, której izolacja termiczna stanowi zagadnienie wymagające precyzji, gdyż łatwo jest popełnić błąd skutkujący powstaniem zawilgocenia lub pogorszeniem komfortu cieplnego. Najczęściej stosowanym rozwiązaniem w domach szkieletowych jest ocieplenie stosowane pomiędzy słupkami – wełna mineralna [6, 7].

Podczas wykonywanych analiz rozpatrywano różne warianty grubości materiałów izolacyjnych:

• izolacji ściany zewnętrznej wykonanej ze styropianu EPS 80 (λ = 0,040 W/(m²·K)), której grubości w analizach wynosiły 15, 20 lub 25 cm,
• styropianu EPS 100 (λ = 0,040 W/(m²·K)) w części cokołowej – w zależności od próby przyjmowano wartości: 5, 10 lub 15 cm,
• izolacja pod płytą fundamentową i przyjmowano dla niej wartości rzędu: 0, 15, 30 cm,
• izolacji wewnętrznej ściany fundamentowej, dla której rozpatrywano następujące wartości: 0, 5, 10 cm.

W dodatku poza zmianą grubości materiałów izolacyjnych rozpatrywano także różne warianty wielkości współczynnika przewodzenia ciepła izolacji na płycie fundamentowej. Wielkości te wynosiły odpowiednio: 0,040, 0,030 oraz 0,020 W/(m²·K).

Ściana zewnętrzna została zaprojektowana z uwzględnieniem cokołu wysuniętego, którego wysokość wynosi 30 cm, a grubość ściany uzależniona jest od rozpatrywanego wariantu. Na FOT. na górze pokazano badany obiekt, natomiast na RYS. 1 przedstawiono rozwiązanie konstrukcyjne analizowanego węzła połączenia ściany zewnętrznej z podłogą na gruncie.

Tok postępowania

W celu przeprowadzenia analizy cieplnej połączenia ściany zewnętrznej z podłogą na gruncie wykorzystano środowisko obliczeniowe THERM, działające w oparciu o metodę elementów skończonych (MES). Poprawne odwzorowanie geometrii oraz warunków brzegowych analizowanego detalu jest możliwe jedynie przy zastosowaniu schematu pokazanego na RYS. 2.

Warunki modelowania detali poddawanych analizie oraz warunki brzegowe ustalono na podstawie normy PN-EN ISO 10211. Przyjęto następujące warunki brzegowe:

• dla powierzchni zewnętrznej ściany: temperatura powietrza zewnętrznego te = –22°C, R_se = 0,04 m²·K·W^-1,
• dla powierzchni zewnętrznej gruntu: temperatura powietrza zewnętrznego te = –22°C, R_se = 0,04 m²·K·W^-1,
• dla wewnętrznej powierzchni ściany: temperatura powietrza wewnętrznego ti = 20°C, R_si = 0,13 m²·K·W^-1,
• dla podłogi na gruncie wewnątrz budynku od góry: temperatura powietrza wewnętrznego t_i = 20°C, R_si= 0,17 m²·K·W^-1 [3].

Badanie przeprowadzone zostało za pomocą metody planowania Placketta-Burmana dla pięcioczynnikowego eksperymentu. Analizie poddano 27 prób dotyczących węzła połączenia ściany zewnętrznej z podłogą na gruncie.

Celem metody jest identyfikacja czynników zmiennych wywierających największy wpływ na analizowany obiekt. Zakłada ona, że interakcje pomiędzy czynnikami są pomijalne, więc skupia się ona jedynie na wyłonieniu efektów głównych. Stosuje się ją, gdy analiza zawiera wiele zmiennych, a zachodzi potrzeba wyłonienia czynnika o największym wpływie na efekt przeprowadzanego eksperymentu. Każdy z czynników posiada poziomy: -1 (najmniejsza wartość), 0 (wartość pośrednia), +1 (wartość maksymalna) [8].

Modelowanie matematyczne zależności temperatury w miejscu mostka termicznego

Zgodnie z założeniami badawczymi, przyjęto funkcję celu jako ϑ_img, [°C] (RYS. 3) w punkcie o najniższej wartości temperaturowej w obrębie analizowanego węzła konstrukcyjnego (funkcja Y₁). W ramach analizy postanowiono ocenić wpływ pięciu zmiennych niezależnych opisanych w TABELI 1.

Pozostałe dane wejściowe, niezbędne do obliczeń symulacyjnych wybranych funkcji celu, zostały przyjęte w badaniu na stałym poziomie.

Założono, że szukane zależności Y_1,2=f (X₁,X₂,X₃,X₄,X₅) może opisywać wielomian drugiego stopnia:

Y = а₀ + а₁ X₁ + а₂ X₂ + а₃ X₃ + а₄ X₄ + а₅ X₅ + а₁₂ X1 X₂ + а₁₃ X₁ X₃ + а₁₄ X₁ X₄+ а₁₅ X1 X₅+ а₂₃ X₂ X₃+ а₂₄ X₂ X₄+ а₂₅ X₂ X₅+ а₃₄ X₃ X₄+ а₃₅ X₃ X₅+ а₄₅ X₄ X₅+ а₁₁ X₁₂ +а₂₂ X₂₂ + а₃₃ X₃₂ + а₄₄X₄₂ + а₅₅ X₅₂

W celu zgromadzenia danych niezbędnych do opracowania modelu oraz identyfikacji zależności między zmiennymi, przeprowadzono eksperyment obliczeniowy z uwzględnieniem pięciu czynników. Badanie oparto na optymalnym planie drugiego rzędu (TABELA 2). W takim przypadku do uzyskania reprezentatywnych wyników wystarczająca jest ograniczona liczba punktów pomiarowych. Wybrano pięcioczynnikowy plan dla 27 prób.

Wyniki symulacji przeprowadzonych dla 27 przypadków badawczych, zgodnie z wcześniej opisanym podejściem i przy użyciu oprogramowania THERM, zestawiono w TABELI 2.

Na podstawie uzyskanych danych, przy zastosowaniu metody najmniejszych kwadratów [10], opracowano deterministyczny model matematyczny w formie równania regresyjnego opisujących zależności Y₁ = f(X₁, X₂, X₃, X₄, X₅) dla funkcji Y1, odpowiadającej temperaturze na wewnętrznej powierzchni w miejscu występowania mostka termicznego ϑ_img:

Y=16,7537−0,0577X₁+0,2382X₂+0,6597X₃+1,2502X₄+2,5673X₅−1,0308X₁₂+0,2253X₂₂−0,7245X₃₂+0,4878X₄₂−1,4849X₅₂−0,0430X₁X₂+0,0511X₁X₃+
0,1408X₁X₄+0,1612X₁X₅+0,1718X₂X₃+0,1254X₂X₄−0,1840X₂X₅−0,0961X₃X₄−0,3805X₃X₅−1,1247X₄X₅

Weryfikację statystyczną przeprowadzono z wykorzystaniem testu Fishera, który – w przypadku eksperymentów numerycznych – opiera się na porównaniu wariancji efektu średniego z wariancją błędu (resztkową). Współczynnik F obliczany jest zgodnie ze wzorem [10]:

gdzie:

S²_y – wariancja średniej,
S²_r – wariancja resztkowa,
f₁, f₂ – liczby stopni swobody,
f₁ = (N – 1) = 27 – 1 = 26,
f₂ = (N – Nb) = 27 – 21 = 6,
N – liczba wykonanych obliczeń,
N_b – liczba współczynników w równaniu regresji.

Na podstawie przeprowadzonych obliczeń uzyskano następujące wartości statystyki F:

Dla przyjętego poziomu istotności α = 0,05 oraz liczby stopni swobody odpowiednio: 26 (dla mianownika) i 6 (dla licznika), wartość krytyczna testu Fishera wynosi F = 2,45 [10].

Ponieważ obliczona wartość F₁ znacznie przekracza wartość tabelaryczną, można stwierdzić, że opracowany model jest statystycznie istotny oraz adekwatny do opisu badanego zjawiska. Jego wysoką jakość odwzorowania potwierdza także współczynnik determinacji: R² = 0,9745, co świadczy o bardzo dobrym dopasowaniu modeli do danych obliczeniowych.

Wyniki badania i ich interpretacja

Analiza opracowanego modelu (2) wykazała, że w centralnym punkcie przestrzeni wieloczynnikowej G_p odpowiadającym średnim poziomom wszystkich czynników, wartość funkcji temperatury ϑ_img (funkcja celu Y₁) wynosi 16,75°C. W dalszej części analizy, przyjmując punkt G_p jako punkt odniesienia, oszacowano zakres oraz charakter wpływu każdego z pięciu badanych czynników na funkcje celu.

Najsilniejszy pozytywny wpływ na wartość funkcji temperatury Y₁ ϑ_img wykazuje grubość izolacji wewnętrznej części cokołowej fundamentu [m] (X₅ = +2,5673). W dalszej kolejności istotne znaczenie mają: grubość izolacji w ścianie zewnętrznej (X₄ = +1,2502) oraz grubość izolacji pod płytą fundamentową (X₃ = +0,6597).

Nieco mniejszy, choć nadal zauważalny, korzystny wpływ wykazuje izolacja w części cokołowej (X₂ = +0,2382). Z kolei czynnik X₁ – przewodność cieplna materiału izolacyjnego na płycie fundamentowej – charakteryzuje się ujemnym współczynnikiem regresji (− 0,0577), co oznacza, że wzrost przewodności (czyli pogorszenie właściwości termoizolacyjnych) prowadzi do obniżenia temperatury w badanym węźle.

W regresyjnym modelu drugiego stopnia wyraźnie zaznaczyła się nieliniowość zależności pomiędzy temperaturą Y₁ ϑ_img a niektórymi czynnikami wejściowymi. Ujemne wartości współczynników kwadratowych: X₁₂= −1,0308, X₃₂= −0,7245 oraz X₅₂= −1,4849 wskazują na obecność efektu nasycenia, czyli malejących przyrostów korzyści termicznych przy dalszym zwiększaniu odpowiednio: przewodności cieplnej warstwy izolacyjnej na płycie fundamentowej, grubości izolacji pod płytą oraz grubości wewnętrznej izolacji fundamentu. Przekroczenie pewnego poziomu tych parametrów prowadzi do osłabienia tempa wzrostu temperatury, a w skrajnych przypadkach może wręcz powodować jej obniżenie.

Z kolei dodatnie współczynniki kwadratowe: X_2²= +0,2253 oraz X_4²= 0,4878 świadczą o rosnących marginalnych efektach dla grubości izolacji w części cokołowej oraz zewnętrznej warstwy ściany. Oznacza to, że zwiększanie tych parametrów może być kontynuowane w kierunku wyższych wartości bez ryzyka pogorszenia efektu cieplnego, co stanowi istotną przesłankę do ich dalszej optymalizacji.

Wzajemne zwiększenie grubości styropianu cokołowego i izolacji pod płytą fundamentową 0,1718X₂X₃ daje efekt lepszy niż suma ich oddzielnych wpływów. Dodatni współczynnik interakcyjny oznacza, że te dwie warstwy wzajemnie się uzupełniają, dlatego warto podnosić ich wartości razem, by maksymalnie podnieść temperaturę Y ϑ_img.

Jednoczesne zwiększanie grubości obu warstw X₄X₅ = –1,1247 (X₄ – grubość izolacji ściany zewnętrznej, X₅ – grubość izolacji wewnętrznej części cokołowej fundamentu [m]) powoduje, że uzyskany zysk cieplny jest mniejszy niż suma korzyści każdej z nich osobno. Na RYS. 4 pokazano konturową zależność ϑ_img od grubości izolacji ściany zewnętrznej (X₄) i wewnętrznej (X₅) przy stałych poziomach pozostałych czynników (X₁=X₂=X₃=0) [11].

Wnioski

• Najsilniejszy pojedynczy wpływ wykazuje czynnik X5 – grubość izolacji wewnętrznej części cokołowej fundamentu [m] (współczynnik liniowy = 2,5673), co oznacza, że zmiana poziomu X₅ z –1 na +1 podnosi średnią temperaturę o ok. 5,13°C.
• Drugi co do wielkości efekt ma X4 – grubość izolacji ściany zewnętrznej [m] (1,2502), a następnie X₃ – grubość styropianu pod płytą fundamentową (0,6597), X₂ – grubość styropianu w części cokołowej (0,2382). Wpływ X₁ w ujęciu liniowym jest pomijalny (–0,0577).
• Interakcja X₄X₅ (–1,1247) ostrzega, że jednoczesne maksymalne zastosowanie obu izolacji nie daje sumarycznego efektu liniowego, lecz lekko go osłabia. Natomiast interakcja X₂X₃ jest najsilniejszą spośród interakcji dodatnich, ale jej wpływ jest umiarkowany w porównaniu do głównych, liniowych efektów cząstkowych.
• Ujemny współczynnik kwadratowy dla X_5² = –1,4849 wskazuje na efekt malejących zwrotów – zwiększanie grubości izolacji wewnętrznej powyżej wartości środkowej (X₅ = 0) przynosi coraz mniejszy przyrost średniej temperatury.

Literatura

1. Pawłowski K., „Procedury uwzględniania mostków termicznych w procesie charakterystyki energetycznej budynków”, „IZOLACJE” 7/8/2009.
2. PN-EN ISO 10211:2017:, „Mostki cieplne w budynkach. Strumienie ciepła i temperatury powierzchni. Obliczenia szczegółowe”.
3. Strona internetowa: https://www.pasywny-budynek.pl/dom/budowa/sciany-i-przegrody/podstawowe-informacje-o-scianach/przez-ktore-elementy-budynku-ucieka-najwiecej-ciepla
4. Kurtz K. „Mostki termiczne” (materiały wykładowe), Wydział Budownictwa i Architektury, Katedra Dróg, Mostów i Materiałów Budowlanych, Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie, 2012.
5. Bartos M., „Cokoły w obiektach historycznych”, „Przestrzeń i Forma” (12), 2009, s. 163–172.
6. Strona internetowa: https://baleidetale.pl/rodzaje-i-metody-ocieplen-w-domach-z-bali/
7. Strona internetowa: https://skandhouse.pl/techniki-i-materialy-uzywane-do-izolacji-domow-szkieletowych
8. Jezierski W., Leszczyński C., „Określenie istotności wpływu parametrów węzła połączenia płyty balkonowej ze ścianą na pole temperatur”, „IZOLACJE” 7/8/2023.
9. THERM 2.0: Program Description, A PC Program for Analyzing the Two-Dimensional Heat Transfer Through Building Products, Elizabeth Finlayson, Robin Mitchell, and Dariush Arasteh, Windows and Daylighting Group, Building Technologies Department Environmental Energy.
10. Durakovic B., „Design of Experiments Application, Concepts, Examples: State of the Art”, „Periodicals of Engineering and Natural Sciences” vol. 5/2017, no. 3, 421–439.
11. STATISTICA 13. Data Analysis Software System. Tulsa, OK: StatSoft, Inc., 2015.