Ocena stanu granicznego zmęczenia konstrukcji żelbetowych w ujęciu norm krajowych i europejskich

Pojedyncze jednokrotne lub nieprzerwanie działające obciążenia wywołujące naprężenia rzędu 50% wytrzymałości charakterystycznej w stali zbrojeniowej konstrukcji żelbetowych nie powodują przekroczenia nośności zmęczeniowej danego elementu.

Poważnie mogą zagrozić natomiast oddziaływania wielokrotne, powtarzalne i cykliczne. Szczególnie zagrożone takim zjawiskiem są konstrukcje mostów, budynków wysokich, silosów oraz obiektów poddanych obciążeniom wynikającym z pracy suwnic (np. PN-EN 1990:2004 [1], PN-EN 1991-3:2008 [2]).

Metody według norm krajowych

Według zasad ogólnych, podanych w wycofanych normach krajowych PN-B-03264:2002 [3] i PN-91/S-10042 [4], wpływ zmęczenia należy uwzględniać w konstrukcjach, w których obciążenia wielokrotnie zmienne wystąpią min. 5×105-krotnie w projektowanym okresie użytkowania. Obciążenia te powinny stanowić co najmniej 60% całkowitego obciążenia.

Jeśli potrzebna jest weryfikacja wytrzymałości na zmęczenie, wprowadza się ograniczenia dotyczące jakości zastosowanej stali zbrojeniowej – nie należy stosować klasy A-0, polecane są natomiast klasy A-I, A-II znaku 18 G2 według normy PN-B-03264:2002 [3] lub o zbliżonych właściwościach.

Norma mostowa PN-91/S-10042 [4] również określa liczbę 5×105 jako minimalną krotność występowania obciążeń zmiennych, ale jej wartość odnosi się do wywołanych naprężeń równych przynajmniej 40% wytrzymałości charakterystycznej stali. Nie ma tu ograniczenia co do stosowania określonych klas stali – obliczenia uwzględniają pręty klas od A0 do AIIIN.

Norma PN-B-03264:2002 [3] zaleca sprawdzenie zmęczenia zarówno betonu, jak i stali przez porównanie wartości zakresów zmian naprężeń występujących w stali Δσs lub maksymalnych naprężeń normalnych w betonie maks. σc do ich dopuszczalnych wartości zgodnie z następującymi warunkami:

Δσ_s ≤  Δσ_sR (1)

maks. σ_c ≤ σ_cR (2)

gdzie:

Δσ_sR - dopuszczalny zakres zmian naprężeń w stali zbrojeniowej, zależny od wielu czynników, m.in. średnicy prętów, środowiska pracy, rodzaju zbrojenia (cięgna sprężające czy zbrojenie miękkie). Jeśli liczba cykli obciążenia nie przekracza 107, wartości Δσ_sR przyjmuje się z tablicy podanej w normie;

σ_c - dopuszczalne maksymalne naprężenie normalne w betonie, przyjmowane w zależności od tego, czy występuje ściskanie, rozciąganie czy ściskanie z rozciąganiem, gdzie maksymalne naprężenia nie przekraczają 0,02 maks. σ_c.

W normie PN-91/S-10042 [4] sprawdzeniu na zmęczenie poddawane są jedynie połączenia spawane prętów zbrojeniowych, połączenia cięgien sprężających i cięgna w zakotwieniach. W odniesieniu do betonu przyjęto, że nie ma potrzeby takiej weryfikacji.

Podobnie jak w przypadku reguł ogólnych, sprawdzenie stanu granicznego zmęczenia polega na porównaniu zakresów zmienności naprężeń (wywołanych obciążeniami charakterystycznymi) stali zbrojeniowej Δσ_ak i sprężającej Δσ_vk do ich dopuszczalnych wartości. Warunki wymagane do spełnienia to:

(3)

gdzie:

ΔR_ak - obliczeniowy zakres zmienności naprężeń przyjęty dla 2×106 liczby cykli obciążeń,

m_a - współczynnik korekcyjny,

Υ_{a fat} - współczynnik materiałowy.

Współczynnik korekcyjny określono wzorem:

(4)

gdzie:

K_A - współczynnik zależny od rodzaju połączeń i krzywizny elementu,

K_T - współczynnik zależny od rodzaju i intensywności obciążeń zmiennych,

K_n - współczynnik zależny od liczby cykli obciążeń (różnej od 2×106),

λ_T - współczynnik zależny od długości elementu.

(5)

gdzie:

ΔR_vk - obliczeniowy zakres zmienności naprężeń przyjęty dla 2×106 liczby cykli obciążeń,

m_v - współczynnik korekcyjny (obliczany jak dla zbrojenia miękkiego),

Υ_{v fat} - współczynnik materiałowy.

Metody według norm PN-EN 1992-1-1:2004+AC:2008 [5] oraz PN-EN 1992-2:2005+AC:2008 [6]

Eurokod 2 część 1-1, w odróżnieniu od wycofanych norm PN-B, nie wymienia minimalnej liczby cykli ani wymaganego poziomu obciążenia, przy którym należy zweryfikować wytrzymałość na zmęczenie konstrukcji. Nadmieniono zaledwie ogólnikowo, że sprawdzać wytrzymałość należy w przypadku regularnych cyklów obciążenia.

Minimalną liczbę cykli oraz intensywność oddziaływania wymagającą sprawdzenia stanu granicznego określa projektant na podstawie swojej wiedzy i doświadczenia.

Podczas projektowania należy jednak pamiętać, że norma w dalszych punktach mówi o ograniczeniu maksymalnych naprężeń zmęczeniowych do wartości obliczeniowej granicy plastyczności stali. Wskazówką może być minimalna liczba cykli, dla której określane są poszczególne współczynniki oraz zakresy naprężeń (106 powtórzeń).

Norma PN-EN 1992-2:2005 [6] nie określa także, w jakich warunkach muszą być wykonane sprawdzenia zmęczeniowe. Wymienia za to przypadki, w których nie ma potrzeby sprawdzenia nośności zmęczeniowej konstrukcji mostowych, a mianowicie:

• kładki dla pieszych (z wyłączeniem elementów czułych na działanie wiatru),
• podziemne konstrukcje sklepione, gdzie zapewniona jest minimalna warstwa gruntu (1,00 m w odniesieniu do mostów drogowych oraz 1,50 m - mostów kolejowych),
• fundamenty,
• filary oraz słupki sztywno połączone z konstrukcją przęseł,
• ściany oporowe nasypów drogowych i kolejowych,
• przyczółki mostów drogowych i kolejowych przegubowo połączone z konstrukcją przęseł, z wyjątkiem płyt przyczółków z otworami,
• stal sprężająca oraz zbrojeniowa w obszarach, w których przy częstej kombinacji oddziaływań i Pk w skrajnych włóknach betonu występują tylko naprężenia ściskające.

Oddzielnie wykonuje się sprawdzenie dla betonu oraz stali. Wymieniono kilka metod sprawdzania. W przypadku pojedynczej amplitudy naprężenia Δσ stopień zmęczenia zbrojenia można opisać za pomocą krzywych S-N określonych dla cięgien sprężających oraz zbrojenia miękkiego (RYS. 1, TABELE 1-2). Aby móc z nich skorzystać, należy zaznaczyć na rysunku przewidywaną liczbę cykli obciążenia, a następnie odczytać wartość zakresu naprężeń Δσ_Rsk.

Wartość obliczeniową ustala się wraz ze współczynnikiem bezpieczeństwa Υ_{s, fat} o zalecanej wartości 1,15.

W przypadku wielu różnych cykli o różnych wartościach amplitud występujących po sobie, stopień zmęczenia każdego z nich można zsumować za pomocą zasady Palmgrena­‑Minera i współczynnika uszkodzenia zmęczeniowego D_Ed:

(6)

gdzie:

n(Δσ_i) - liczba cykli obciążenia o amplitudzie Δσ_i, jaka do tej pory wystąpiła,

N(Δσ_i) - liczba cykli, przy której nastąpi zniszczenie konstrukcji dla danej wartości Δσ_i.

W przypadku mostów drogowych i kolejowych jako alternatywę dwóch opisanych metod można zastosować metodę równoważnego zakresu naprężenia w stali polegającą na zamianie rzeczywistego obciążenia równoważnym obciążeniem składającym się z N* cykli z jednakowym zakresem pojedynczego cyklu. Norma określa nierówność, której spełnienie gwarantuje wymaganą wartość wytrzymałości na zmęczenie stali zbrojeniowej, sprężającej oraz łączników:

(7)

gdzie:

Δσ_Rsk (N*) - zakres naprężeń przy N* cyklach,

Δσ_S,equ (N*) - równoważny (ze względu na uszkodzenie) zakres naprężenia zależny od rodzaju zbrojenia i liczby cykli N*.

Do sprawdzenia nośności na zmęczenie betonu przy ściskaniu metodą naprężeń równoważnych należy zastosować warunek:

gdzie:

Δσ_cd,min.,equ - dolne naprężenie granicznej amplitudy po N* cyklach,

Δσ_cd,maks.,equ - górne naprężenie granicznej amplitudy po N* cyklach,

f_cd,fat - obliczeniowa, wytrzymałość zmęczenia betonu, obliczana według wzoru:

gdzie:

β_cc(t₀) - współczynnik korygujący wytrzymałość betonu przy pierwszym obciążeniu.

Drugim warunkiem, przy zapewnieniu którego można przyjąć wytrzymałość betonu na zmęczenie jako wystarczającą, jest spełnienie nierówności:

gdzie:

σ_c,maks. - maksymalne naprężenia ściskające w rozpatrywanym włóknie pod wpływem częstej kombinacji obciążeń,

σ_c,min. - minimalne naprężenia ściskające w rozpatrywanym włóknie pod wpływem częstej kombinacji obciążeń.

Wzory (13) i (14) podano w wersji poprawionej ze względu na błąd w normie [7]. Zależności podane we wzorach (13) i (14) można również stosować podczas sprawdzania zmęczenia przy ścinaniu i odnieść je do ściskanych krzyżulców w modelu kratownicowym. Jednakże f_cd,fat zmniejsza się wraz z mnożeniem wartości przez współczynnik redukcji wytrzymałości v, opisany wzorem:

(15)

Jeśli zbrojenie na ścinanie nie jest obliczeniowo potrzebne, weryfikacja stanu granicznego zmęczenia wywołanego ścinaniem przyjmuje postać:w odniesieniu do:

gdzie:

V_Ed,maks. - wartość obliczeniowa maksymalnej siły poprzecznej powstającej pod wpływem częstej kombinacji obciążeń,

V_Ed,min. - wartość obliczeniowa minimalnej siły poprzecznej powstającej pod wpływem częstej kombinacji obciążeń,

V_Rdc - wartość obliczeniowa nośności na ścinanie rozpatrywanego przekroju.

W uproszczonych kryteriach wystarczy sprawdzić, czy zakresy zmienności naprężeń Δσ_s pod wpływem częstych obciążeń cyklicznych przy jednoczesnym działaniu obciążeń w kombinacji podstawowej nie przekraczają wartości zalecanych 70 MPa i 35 MPa (odpowiednio dla niespajanych i spajanych prętów zbrojenia rozciąganego). Zamiast powyższych kombinacji można zastosować częstą kombinację obciążeń - w przypadku spełnienia warunków nie będą wymagane żadne kolejne sprawdzenia.

W drugiej części Eurokodu 2 (Mosty z betonu) zaproponowano takie same metody sprawdzania wytrzymałości na zmęczenie betonu i stali jak w części 1-1. Dokonano też podziału metod stosowanych dla mostów drogowych i kolejowych. W załączniku NN zawarto uproszczone procedury obliczeń.

Sposoby obliczania zmęczenia w obiektach mostowych

Do sprawdzenia zmęczenia betonu przy zginaniu lub ścinaniu za wystarczające uznaje się spełnienie nierówności według reguły Minera:

gdzie:

n_i - rzeczywista liczba cykli o danej amplitudzie,

m - liczba przedziałów z daną amplitudą,

Ni - zmodyfikowane wyrażenie według wzoru (20), oznaczające graniczną liczbę cykli o danej amplitudzie przed zniszczeniem konstrukcji, zgodnie z wzorami:

gdzie:

R_i – stosunek najniższego E_cd,min.,i i najwyższego poziomu naprężenia ściskającego E_cd,maks.,i, wyrażony wzorem:

gdzie:

σ_cd,min.,i - dolne naprężenie w cyklu,

σ_cd,maks.,i - górne naprężenie w cyklu,

f_cd,fat - obliczeniowa wytrzymałość zmęczenia betonu, obliczana jak we wzorze (12).

W przypadku mostów drogowych według metody uproszczonej obliczenia nośności zmęczeniowej stali zbrojeniowej i sprężającej opierają się na równoważnych zakresach naprężeń zmęczeniowych Δσ_s,equ oraz zakresach naprężenia zmęczeniowego Δσ_s,Ec wywołanych oddziaływaniem zmodyfikowanego modelu trzeciego obciążenia (RYS. 2) według normy PN-EN 1991-2:2007 [8].

Z reguły stosuje się pojedynczy pojazd na pas obliczeniowy, jeśli jednak zaistnieje taka potrzeba, dopuszcza się drugi pojazd. Odległość między środkami obu pojazdów nie może być mniejsza niż 40 m, a obciążenie osi drugiego pojazdu wynosi 36 kN.

Wraz z obciążeniami pionowymi powinny być również brane pod uwagę obciążenia poziome. Przy wyznaczaniu tych zakresów naprężeń należy zwiększyć obciążenia przypadające na oś przez przemnożenie ich przez wartości:

• 1,75 - do sprawdzania podpór pośrednich mostów ciągłych,
• 1,40 - do innych obszarów konstrukcji przęseł.

Po modyfikacji obciążeń można obliczyć zakres naprężeń równoważnych Δσ_s,equ, według wzoru:

Δσ_s,equ = Δσ_s,Ec· λ_s (24)

gdzie:

λ_s - równoważny współczynnik zmęczenia (poprawkowy), wyrażający wpływ rozpiętości, rocznego natężenia ruchu, okresu projektowego, wielokrotności pasm, rodzaju ruchu i szorstkości powierzchni.

W przypadku mostów kolejowych (według metody uproszczonej) dokonanie obliczeń do sprawdzenia stali zbrojeniowej i sprężającej opiera się na równoważnych zakresach naprężeń zmęczeniowych Δσ_s,equ oraz zakresach naprężenia zmęczeniowego Δσ_s,71 wywołanych oddziaływaniem modelu obciążenia 71 (RYS. 3) według normy PN-EN 1991-2:2007 [8]. Odmiennie do mostów drogowych nie trzeba dodatkowo zwiększać obciążeń. Zakres naprężeń równoważnych Δσ_s,equ można obliczyć w następujący sposób:

Δσ_s,equ = λ_s · Ф · Δσ_s,71 (25)

gdzie:

λ_s - korekcyjny współczynnik wyrażający wpływ rozpiętości przęsła, rocznego natężenia ruchu, projektowego okresu użytkowania oraz liczby torów,

Ф - współczynnik dynamiczny według normy PN-EN 1991­‑2:2007 [8].

W przypadku mostów kolejowych do sprawdzenia zmęczenia betonu przy zginaniu za wystarczające uznaje się spełnienie nierówności:

gdzie σ_cd,min.,equ i σ_cd,maks.,equ są odpowiednio dolną i górną wartością spektrum naprężeń równoważnych przy liczbie cykli równej 106, obliczanymi według wzorów:

gdzie:

σ_c,perm - naprężenie ściskającym w betonie przy założeniu charakterystycznej kombinacji oddziaływań bez modelu obciążenia 71,

σ_c,min.,71 - minimalne naprężenie ściskające przy założeniu charakterystycznej kombinacji oddziaływań, z włączeniem modelu obciążenia 71 oraz współczynnika dynamicznego Ф,

σ_c,maks.,71 - maksymalne naprężenie ściskające przy założeniu charakterystycznej kombinacji oddziaływań, z włączeniem modelu obciążenia 71 oraz współczynnika dynamicznego Ф,

λ_c - współczynnik poprawkowy uwzględniający wpływ naprężenia wywołany obciążeniem stałym, rozpiętości elementu, rocznego natężenia ruchu, okresu użytkowania oraz liczby torów.

Przykład sprawdzenia stanu granicznego zmęczenia pasma płyty

W przykładzie przyjęto pasmo płyty wolnopodpartej poddanej obciążeniu wielokrotnie zmiennemu (liczba cykli = 10⁶) o stałej amplitudzie (płyta pomostu w moście drogowym). W TABELI 3 przedstawiono założenia konstrukcyjne. Dobrano i przeliczono je tak, aby stany graniczne (poza zmęczeniem) były spełnione z zapasem nie większym niż 10%. Zabieg ten pozwolił na uwydatnienie potrzeby weryfikacji zmęczenia w konstrukcjach obciążonych dynamicznie.

Aby porównać procedury obliczeniowe, przyjęto jednakowy zestaw naprężeń charakterystycznych w stali i betonie (przekrój przęsłowy), przedstawiony w TABELI 4. W zależności od zadanego bloku obliczeniowego wartości zostały przemnożone przez odpowiednie współczynniki częściowe. Przypadek obliczeniowy skonstruowano tak, by naprężenia minimalne odpowiadały naprężeniom od obciążeń stałych, a maksymalne – sumie naprężeń od obciążeń stałych i zmiennych. W TABELI 5 przedstawiono wyniki obliczeń.

Analizując rezultaty weryfikacji zmęczenia według poszczególnych norm, można zauważyć, że niemal wszystkie warunki nie zostały spełnione. Jedynie po spełnieniu zaleceń normy PN-91/S-10042 [4] dopuszczalne zakresy zmienności naprężeń stali utrzymują się na relatywnie wysokim poziomie, w porównaniu z wartościami określonymi w normie PN-EN.

Należy zauważyć, że wycofana norma mostowa opiera się na charakterystycznych wartościach naprężeń, a Eurokod - na obliczeniowych. Obecnie obowiązujące normy bardzo bezpiecznie podchodzą do określania obliczeniowej zmęczeniowej wytrzymałości betonu na ściskanie. Ostrożność ta potwierdza się w dużych rozbieżnościach wyników badań zmęczeniowych betonu.

Podsumowanie

Przy sprawdzeniu stanu granicznego zmęczenia, w Eurokodzie 2 zdano się na doświadczenie oraz wiedzę projektanta, który sam musi określić, czy istnieje potrzeba przeprowadzania dodatkowych obliczeń. Zasadniczą różnicą w podejściu do efektów zmęczenia w normach krajowych i Eurokodzie 2 jest to, że tylko w tym drugim dokumencie stosuje się współczynniki częściowe obciążeń oraz krzywe S-N.

Ponadto, w przeciwieństwie do normy mostowej PN-91/S-10042 [4], Eurokod 2 część 2 bardzo dokładnie omawia zagadnienie modeli zmęczeniowych wraz z ich kombinacjami. Kolejną zmianą jest wprowadzenie w PN­‑EN wartości naprężeń maksymalnych i minimalnych (σ_c,maks. i σ_c,min.) w betonie przy weryfikacji zmęczenia. Dotychczas posługiwano się jedynie naprężeniem maksymalnym.

Wyniki przedstawione w przedstawionym przykładzie pokazują konieczność wykonania sprawdzenia zmęczenia w konstrukcjach obciążonych cyklicznie, w których stan graniczny może być przekroczony nawet o 86% (PN-EN 1992-2:2005+AC:2008 [6] ze względu na duży wpływ przyjętego obciążenia pojazdami ciężkimi o krotności cykli 106. Stąd nasuwa się również konieczność konsekwentnego monitorowania stanu znacznie obciążonych obiektów, np. mostów i wiaduktów autostradowych).

Artykuł opracowano pod kątem większego projektu mającego na celu dokładniejsze rozpoznanie zachowania się konstrukcji z betonu na kruszywie recyklingowym pod wpływem obciążeń dynamicznych.

Literatura

1. PN-EN 1990:2004, "Eurokod. Podstawy projektowania konstrukcji".
2. PN-EN 1991-3:2008, "Eurokod 1: Oddziaływania na konstrukcje. Część 3: Oddziaływania wywołane dźwignicami i maszynami".
3. PN-B-03264:2002, "Konstrukcje betonowe, żelbetowe i sprężone. Obliczenia statyczne i projektowanie".
4. PN-91/S-10042, "Obiekty mostowe. Konstrukcje betonowe, żelbetowe i sprężone. Projektowanie".
5. PN-EN 1992-1-1:2004+AC:2008, "Eurokod 2: Projektowanie konstrukcji z betonu, Część 1-1: Reguły ogólne i reguły dla budynków".
6. PN-EN 1992-2:2005+AC:2008, "Eurokod 2: Projektowanie konstrukcji z betonu, Część 2: Mosty z betonu. Obliczanie i reguły konstrukcyjne"
7. T. Siwowski, E. Michalak, "Projektowanie mostów według Eurokodów. Mosty żelbetowe cz. II", "Mosty", nr 2/2013, s. 68-73.
8. PN-EN 1991-2:2007, "Eurokod 1: Oddziaływania na konstrukcje. Część 2: Obciążenia ruchome mostów".
9. PN-EN 206-1:2003+AP1:2004, "Beton Część 1: Wymagania, właściwości, produkcja i zgodność".
10. P.M. Gordon, "Low cycle fatigue behavior of concrete with recycled concrete aggregates", A Thesis presented to the Faculty of California Polytechnic State University, San Luis Obispo, In Partial Fulfillment of the Requirements for the Degree Master of Science in Civil and Environmental Engineering.
11. X. Luo, H. Yao, "Deformation and deformation and acoustics parameters feature of recycled concrete under cyclic loading. Applied Mechanics and Materials", vol. 80–81/2011, s. 213-216.
12. X. Luo, H. Yao, "Ultrasonic Propagation Characteristcs and Damage Evolution of Recycled Concrete under Dynamic Loading. Advanced Materials Research", vol. 163-167/2011, s. 956-960.
13. I. Jankowiak, A. Madaj, "Obliczanie na zmęczenie betonowych konstrukcji mostowych według PN-EN", Archiwum Instytutu Inżynierii Lądowej/Politechnika Poznańska, nr 10/2011, s. 105-127.
14. S. Woliński, "Opis i analiza zjawiska zmęczenia konstrukcji z betonu w normach projektowania", „Inżynieria i Środowisko”, r. 54, nr 8/1998, s. 418-422.
15. S. Woliński, "Stan graniczny zmęczenia konstrukcji z betonu w normach projektowania", "Inżynieria i Środowisko", r. 55, nr 4/1999, s. 220-224.

Chcesz być na bieżąco? Zapisz się do naszego newslettera!